佳美之处

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动
佳美之处 门户 文萃 福音 查看内容

G命题和未识之神?混乱啊!Rosenberg都没弄懂哥德尔证明

2-9-2015 00:30| 发布者: snapshot| 查看: 212| 评论: 7|原作者: snapshot

摘要: Rosenberg都没弄懂哥德尔证明 评论者:坏坏男•图书评论:科学哲学 http://www.enjoyreviews.com/reviews/2432310453/   与许多人文学者一样,《科学哲学》(上海科技教育出版社)作者Alexander Rosenberg没有搞 ...
Rosenberg都没弄懂哥德尔证明
评论者:坏坏男  •  图书评论:科学哲学

http://www.enjoyreviews.com/reviews/2432310453/

  与许多人文学者一样,《科学哲学》(上海科技教育出版社)作者Alexander Rosenberg没有搞懂哥德尔证明的实质内容。在16页至17页,他对哥德尔证明的表述是根本错误的。因此,我决定中止阅读这本书转到下一本科学哲学书——作者Alexander Rosenberg不是一名严谨的教授。
  按照Rosenberg的理解,哥德尔是发现了“一个自相矛盾的命题,可证明是错的或必然假的”,但事实并非如此。哥德尔是发现了系统中的一个公式G,此公式G可以按照哥德尔编码技术和递归论等技术构成的一种特定的元解释来理解。在这个特定的元解释中,公式G的意思是“我是不可证明的”(但相应地,在系统的标准解释中G如何具体写出来,并且表达了什么数学意义,哥德尔并不知道,也没有人知道)。哥德尔按照这个特定的元解释,用归谬法证明:如果系统是一致的,那么G肯定不是系统的一条定理。
  所以,正确的表述应当是:哥德尔发现了任何包括算术的一致的形式系统,都存在一个不可判定的公式G,这个公式G不是“一个自相矛盾的命题”,按照哥德尔给出的某种特定的元解释,G的意思是“G是不可证明的”。
  所以,按照哥德尔的宣称和世人的流行理解,G非但不是一个自相矛盾的命题,相反,G说出了一个事实,即G在形式系统中不可证明的这个事实,因此,G是被认为真的。所以,一个一致的算术形式系统必定遗漏某个真的算术命题G。
  Rosenberg错误地理解和表述了哥德尔证明的实质。哥德尔没有在证明中使用一个悖论命题,而只是用归谬法证明了公式G不可能是形式系统的一条定理。
  但在最后,我须要指出,Rosenberg误解了哥德尔证明的实质,而哥德尔则误解了自己证明的意义,哥德尔断言G不是系统的定理,这一点毫无疑义,但“G不是定理”并不意味着算术系统是不完全的。
  原因很简单,任何形式系统都有一个标准元解释,同时,该形式系统也可以有很多非标准的元解释。哥德尔编码技术就是给出了一个非标准地解释算术形式系统中某些极少数公式(这些公式中包括G)的意义的方法,只有从这个非标准的元解释的角度来看,G才拥有了一种语义,并且G的语义表明G进行了自我指代和断言——“G是不可证明的”。因此,也只有在哥德尔编码给出的元解释中,G才可以被认为是真的。
  哥德尔的编码配数法甚至称不上是对形式系统的一种解释,而是相反,哥德尔把形式系统的某些公式进行翻译(这些公式有标准解释)让这些公式对应一些“元语句”。也就是说,在配数法解释下,哥德尔是用形式化的公式来翻译元语句,而不是站在元语言的立场来翻译形式系统的公式。比如,形式系统的公式0'+0'=0"表达的就是1+1=2这条简单的真命题,但是,从哥德尔的编码配数法来看,公式0'+0'=0"却没有任何解释。
  假如哥德尔偏要声称公式G是真的(因为G断言了“G是不可证明的”而G恰恰真的不是形式系统的一条定理),那么我们反观公式0'+0'=0",它是算术形式系统的一条定理(1+1=2),但却在“哥德尔编码”的视角下没有解释,因而毫无意义。于是,哥德尔岂不是这样宣称自己证明意义吗?——即,任何一个包括了算术的形式系统都遗漏了一个真命题G,同时这个系统所推导出的绝大多数定理却都是一些不知所云、毫无意义的符号串!
  事实当然不是这样!算术形式系统PM所证明的每一条定理都是真理,并且都有确定无疑的逻辑意义或者数学意义!哥德尔在证明中只是原则性地(而并非构造性地)给出了公式G的一个说明性的描述,用这种说明性的描述以非构造性的方法(归谬法)证明了G不是PM的一条定理(即G不可证明)。但是,G只是在一种非常“变态”的复杂解释下,才有了一种非标准的语义,并且在“变态”眼镜下看似为真,但代价是“变态”眼镜看到的算术真理也变得无意义了。
  我们必须在如下产生不同意义的两个解释⑴和⑵中做出选择:
  ⑴在标准解释中,公式0'+0'=0"是系统PM的一条定理,并且表达了真理1+1=2;而公式G虽然是在原则上定性地存在,却没有人可以具体写出它来,并且,也不知道它在标准解释下的意义。
  ⑵在哥德尔配数法的“变态解释”下,公式0'+0'=0"是毫无意义的,并且因为哥德尔配数法发散极快,因此,绝大多数PM的定理都不能对应哥德尔配数从而毫无意义;公式G在这种情况下,表示了“G是不可证明的”。
  哥德尔制造了混乱,偷换或者混淆解释⑴和⑵,好像在逻辑和数学思维中允许采用多重意义标准。但事实是,混淆意义标准只能带来混乱,而这就违背了逻辑和数学要求的绝对清晰。所以,要么G是真的且PM的定理大多毫无意义,要么PM的定理表示了逻辑和算术真理但G不是真的。
  戴维森哲学的一个核心议题是讨论“什么是意义”“什么是真理”,他没怎么搞清楚这些问题。相比之下,哥德尔更加没有想清楚,对于一个形式系统而言,它的语义是怎样产生的,以及什么是其语义的真。
  这归根到底要牵涉到形而上学。按照我的形而上学观和逻辑观,所有逻辑和数学形式系统,它的定理集本身就是对真或假的界定。在一个力图推出真公式的系统中,一个公式为“真”就意味着它是系统的定理,一个公式是系统的定理就意味着它为“真”。
  任何一个形式的算术系统都包含无数个不可判定的公式,这些公式没有一个是真的。G只是这无数个不可判定公式的其中一个,并且,G不是真的。
发表评论

最新评论

引用 snapshot 9-2-2015 00:46
http://www.enjoyreviews.com/reviews/5776310274/
[搬运]关于哥德尔定理
评论者:未成精的狐狸  •  图书评论:哥德尔证明

  该定理的另一个主要应用领域,是数学的一个应用分枝——计算机和人工智能。现在把我文中提过的停机问题简单介绍一下。计算机到现在有了极大的发展,但是基本原理还是冯·诺依曼提出来的,只是速度和效率大大提高了。从根本上说,计算机的程序,就是一种基于2进制数字运算的命题演算系统。其中给出的公理是有限的,规则是可计算,而判定出命题的真伪时,输出结果,停机并转向下一个命题的处理。这就符合了哥德尔第一不完备定理的条件。可如该定理所说,这样的系统必然是不完备的,也就是说至少有一个命题不能通过这样的“程序”被判明真伪,系统在处理这样的命题时,就无法“停机”,用俗话说就是被“卡”住了,永远不能绕过。无论你怎样扩充公理集,只要是有限的,这个现象就始终存在。而无限的公理集对于计算机来说,就意味着无限大的存储空间,这显然是不可能的。因此,有些数学家,如我提过的彭罗斯就认为,这表明了计算机是有致命缺陷的,而人类的“直觉”不受该定理的限制,所以计算机永远不可能具有人脑的能力,人工智能期望中的真正具有智慧的“电脑”,只不过是如“皇帝的新衣”那样的“皇帝的新脑”。关于这个问题的详细情况,可阅读彭罗斯的《皇帝新脑》。
  
  为什么人脑与电脑有这样的根本差别呢,彭罗斯认为可能是量子力学不确定性和复杂非线形系统的混沌作用共同造成的。但也有的数学家并不这样认为,他们指出,人脑就基本意义和工作原理来说,与人工智能原理的“图灵机”无根本差别,电脑也存在上述两种作用,这就说明人脑也要受到哥德尔定理的限制。两者间的差别,可用包含非确定性的计算系统说明,就是所谓的“模糊”处理。人脑正是这样的包含了非确定性的自然形成的神经网络系统,它之所以看上去具有电脑不具备的“直觉”,正是这种系统的“模糊”处理能力和效率极高的表现。而传统的图灵机则是确定性的串行处理系统,虽然也可以模拟这样的“模糊”处理,但是效率太低下了。而正在研究中的量子计算机和计算机神经网络系统才真正有希望解决这样的问题,达到人脑的能力。
  
  对于电脑是“真脑”还是“皇帝的新脑”,还存在很大的争议,有很多的问题需要解决,很多都是现在世界上的顶尖科学家研究的尖端课题。我没有能力判断孰对孰错,但是我个人认为“人类思维也受哥德尔定理的限制”这点很有意思,很可能是正确的。各方面研究都表明,人脑在“运算”时,的确与电脑的基本原理是一样的,只不过电脑是用电子元件的“开、闭”和电信号的传递体现,人脑则表现为神经原的“冲动、抑制”和化学信号(当然也包括电信号)的传递。这与哥德尔定理的条件没有本质上的差别。而认识过程中的“思维是客观实在的近似反映,语言是思维的近似表达”这点,正是受哥德尔定理限制的结果。就拿语言(指形式上的)来说,完全可以转化为有限公理和一定规则下的符号逻辑系统,也就是一种符合定理条件的形式公理系统。该定理恰恰说明,这样的系统中不完备,存在不能用该系统证实的命题,对于这个系统来说,就是语言对思维的表达不完全,也就是我们常说的“只可意会,不可言传”。这也与我们经常感觉到的“辞不达意”是相吻合的,任何形式上的语言都不能完全准确的表达我们的思想。还有另一个事实也说明这点,就是翻译。文对文的形式语言翻译虽然不难,可是如实地表达原来语言中的准确蕴义就非常难了,甚至可以说是不可能的事情。如果能证明人类的思维也可以转化为这样的形式公理系统,那人脑也一定受哥德尔定理的限制。
  
  诺依曼的天才大家都知道了。有趣的是,这个定理让他觉得自己受到了羞辱,于是再也不碰逻辑学
引用 snapshot 9-2-2015 00:52
吓死人,不过也似乎真的是一个提醒。不要随便说明白了哥德尔哦!
http://www.enjoyreviews.com/reviews/1881118193/
给真的想了解一点哥德尔工作的人
评论者:蟲蟲  •  图书评论:哥德尔、艾舍尔、巴赫

  太多关于哥德尔定理的讨论,都是就着一点感性认识随意发挥,实在太不着边际。我们都不是逻辑学专家(就我自己而言,在朝着专家的方向努力,能否成功还得两说,但至少现在肯定不是),要完全搞清哥德尔的工作然后再去讨论,既无可能也无必要。但在讨论之前,至少要了解哥德尔的总体思路以及能够说清楚哥德尔定理的大体证明步骤,关键是搞清一些重要概念的意义,同时明白自己还有某些细节其实并不很清楚,因此要谨记“慎言其余”的圣训,而不要总感觉自己好像懂了点什么而又总是一头雾水,但一开口,却语不惊人死不休什么都敢胡说。想达到这个目标,先勒住自己野马般的思维,再认真读点书,总不太难。将自己的联想与思辨留在搞清一些基本原理与事实之后,或许其结晶才会更有价值。
  尽管介绍哥德尔证明的大部头、小册子都声称没有任何基础的读者都能理解书中的内容,但个人建议还是先给自己打点基础。找一本逻辑教科书,(推荐徐明《符号逻辑讲义》)明确以下几个概念:(公理)形式系统,证明,对象语言和元语言(主要是要搞清楚“元”是什么意思),元定理和(系统中的)定理,语形和语义,模型和解释,真理定义,一致性,完全性。
  假设每天看两个小时的书,这个过程大概要花一到两个星期的时间,然后,可以开始翻那些大部头、小册子。
  最有名的向普通人介绍哥德尔定理的大部头应该是geb,我的建议是刚接触哥德尔定理的人不要看这本书。作者希望用一个画家和一个音乐家的工作来类比哥德尔的工作,但有几个问题:一、画还好点,我们大多数人对音乐理论根本就不熟悉,讲到巴赫的部分几乎都难以理解;二、类比这种说明方式作用很大但有缺陷,再精妙的类比也不可能告诉你要说明的对象“本身”到底是什么,况且,三、作者的用的类比其实并不精妙,侯世达将“哥德尔句”喻为“怪圈”,已被指出乃是一种错误的描述。
  我无意否定此书,在哲学上此书或许是能给人启发,但这已属于“联想与思辨”的范围,大家不妨在对哥德尔定理明白点之后再来阅读此书,或许这样更有收获。
  最好的入门小册子当然是内格尔与纽曼合写的《哥德尔证明》,书的前六章会给你介绍一点背景并帮忙巩固你前面一两个星期打下的基础,特别是对于什么是“形式系统”和“一致性”。接下来第七章是最关键的,说简单并不简单,多读几遍才能理解很正常,力求全部弄懂。这里只举一个要点:哥德尔给包含算术的形式系统编码是为了让这个系统能“反映”自身,这里实际上有两步:第一步是把诸如陈述“某(形式中的)定理可证”的元定理化为纯算术命题;第二步是把前面“算术化”后的元定理在形式系统中找一个“形式替身”,可以思考这两步是如何实现的,特别是后面一步,可能会遇到什么问题?经过这两个步骤,为什么形式系统就能“反映自身”?
  读完《哥德尔证明》垫下基础之后,可以再看下面三篇文章,斯穆里安的《哥德尔与不完全性定理》(在人大版的《哲学逻辑》书中可以找到),读这篇文章应注意的重点是看哥德尔的原证明(《哥德尔证明》一书中介绍的策略是经过改进的),以及对角化的作用。(这篇文章带有一点研究性,不完全是介绍,如果后面有些部分感觉难读可跳过);康宏逵的《模态、自指和哥德尔定理》(在《可能世界的逻辑》一书中可找到)前半部分关于哥德尔证明的介绍,都是很标准很清晰的表达,是我看到的中国人介绍哥德尔写得最好的,但需要细读(有些数学的部分不理解可适当跳过);邢滔滔《哥德尔定理正反观》(可以到期刊网下载),介绍定理证明的部分与康文类似,特点是澄清了很多对哥德尔定理的误解,值得一读。
  到此为止,其实也就差不多了,若想再进一步,可以参看franzen和smith的书(gigapedia上都有下载),特别是后者,讲得很详细,但恐怕少有人会真的花功夫去看。再进一步······实话讲,对于“真的想了解一点哥德尔工作”这一目标而言,如果已经完成上面的任务,确实已经足够,不再需要“下一步”,另外,我还在继续读smith,前面那么一大通话,讲得已经有点心虚,这个阶段之后的事情,就更加只能“慎言”了。
引用 snapshot 9-2-2015 00:54
http://www.enjoyreviews.com/reviews/4818222739/
哥德尔不完备定理根本策略:
    1.建立一个系统PM,使得其序列号与元理论中公理及其引理建立映射关系——得到哥德尔数;
    2.利用特殊的定义策略,使得映射建立的序号巨大化、不重复,且有规律性;在哥德尔的论文中,天才地利用里质数、指数、乘积三者
  
  的可还原关系。
    3.构造一个引理G,其表达式为:该引理G在PM系统中不可证明,即PM(G)与任何一个数X无法构成数学关系;同时,在构造时使得该引理
  
  的哥德尔数g直观可得,在哥德尔的论证中,为一个函数,可由该引理求得。
  
   理查德悖论
   n是一个理查德数,则n不属于本条目命题所定义的数——n。
   n若是一个理查德数,则本命题的条目序列不可能是n
   n若不是一个理查德数,则和“n是一个理查德数”的前提相矛盾。
   n既是也非理查德数,构成悖论。
   理查德悖论的错误在于:理查德数的映射关系原本只存在于纯算数性质的命题;但“理查德数”本身作为一个定义确实涉及数学表达命题
  
   的其他符号在内的元数学概念。
  
   改造后的哥德尔元数学命题
  
   1.Dem(x,z) 哥德尔数为x的公式序列是哥德尔数为z的公式的一个证明。
   2.存在一个公式G,不存在x为哥德尔数z的公式的一个证明。
   3.G属于PM,所以G有对应的哥德尔数g.
   4.中间步骤比较复杂,总之哥德尔通过一系列构造,使得z成为某个函数,而函数的值就是g.
  
   因而得出了和理查德悖论类似的结果。g若是G的一个证明,则存在一个x,使得Dem(x,g)成立;由于G的定义,又不存在一个x。构成悖论。
  
  
  
   结论:在PM系统中,序列号为g的引理G不可证明。因此,PM系统不完备。又因为PM系统与元系统一一映射,因而元系统不完备。任何纯形
  
  式系统都符合该结论,故任何一致的纯形式系统不完备。
    
  
  但通过元数学推论,很明显能看出,G仅仅在PM系统中不可证明,但G的所有构造是一一可以归纳还原的,是一致的,故而G当然是一个真命题。但不是通过PM系统得出的结论。这就得出了哥德尔不完备定理:一致系统不完备,总有一个定理在该系统中不可证明。
  
  
  
  
    注:
    1.哥德尔的证明仅仅适用于一切完备性纯形式系统,故而不可滥用。若并非在元理论层面,以映射、命题构造与悖论三种主要策略阐释
  
  或证明任何理论的不完备性,显然不属于哥德尔定理的范畴。
    2.若一旦某个系统以逻辑之名义欲行使无限之合法性,则可以哥德尔的证明策略攻讦之。例如所谓语言的命题演算,法理系统的逻辑演
  
  算,人工智能的指令集演算等。
    3.在认识论方面,哥德尔推崇柏拉图的理念论,即认为宇宙中一切认知取决于在形式和操作结构上逐步适应对象-客体的性质,而非相
  
  反。在哥德尔的基础上反刍柏拉图在认识论方面的贡献,似乎不至于陷入神秘主义,亦不会堕入形而上陷阱。
引用 snapshot 9-2-2015 00:56
论刘小枫的《拯救与逍遥》与哥德尔不完备性定理的关联
http://www.enjoyreviews.com/reviews/3292380617/
评论者:骚就要骚出档次  •  图书评论:拯救与逍遥

  论刘小枫的《拯救与逍遥》与哥德尔不完备性定理的关联
  
  一 起源
  
  一个月前有幸读了刘小枫的《拯救与逍遥》,深有感触,不说这本书如何优美、深刻、满含情感,这里只讨论此书中的核心,即拯救与逍遥,是如何与人类历史上几乎最伟大的定理 - 哥德尔不完备性定理产生了关联的。当然,作为哲学与神学大家的刘小枫在极其年轻时写下此书,当时定是不了解数理逻辑领域的那个定理,之所以与之竟产生了某种内在关联,也恰好说明了世界上那些伟大的头脑所思考的事无外乎就是那些关乎人之为人的挣扎与责问。
  
  二 哥德尔不完备性定理简析
  
  定理原版:1.任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统,都存在一个命题,它在这个系统中既不能被证明也不能被否定。2.如果系统S含有初等数论,当S无矛盾时,它的无矛盾性不可能在S内证明。
  
  此定理堪称伟大,是因为由此可产生非常多种对此定理的阐述,涵盖数理、哲学、神学、理论物理、生物学、社会学等等几乎全部认知领域。对于本文所要讨论的视角,我们可以对此定理做如下阐述:一个系统,要么是自洽的但不完备,要么是完备的但不自洽。
  
  三 “拯救与逍遥”浅析
  
  刘小枫想要说的是,人对自己的人生和信念大致可选取两种态度,即拯救与逍遥。
  
  逍遥派:
  
  之一是儒道禅。此路人物包括孔子、老子、庄子、狂禅等。他们提倡的是天人合一的自足,不需要自足之外的任何存在,笑看沧桑,笑看世间的恶。
  
  之二是历史理性主义。此路人马包括黑格尔、马克思等哲学大家、鲁迅、尤其还有物理学等理性主义科学。他们认定历史是充满理性目的的进程,世间的恶是其中的必然成分,必须将其吞下。
  
  之三是无神论虚无主义。最主要代表人物是加缪与萨特。据他们讲,恶是人的既必然又必不可少的组成,不但不能逃避和消灭,还必须接受并把价值建立其上。
  
  拯救派:此派这里只提及一个,就是基督拯救。上帝让基督受难来与世人共担世间的恶,人只有通过信仰上帝来赎回原罪。注意,刘小枫对基督教的理解与普通人对其的理解不太一样。
  
  四 关联
  
  那么,两派到底如何与哥德尔不完备性定理关联?
  
  在哥德尔不完备性定理中,完备但不自洽对应着逍遥,自洽但不完备对应着拯救。
  
  系统想要完备,即不需要系统之外有上帝,那么必须要牺牲自洽,也就是要接受矛盾,把矛盾作为系统的一部分接受下来,即使它们会推论出荒谬的逻辑,即恶。这样吞下矛盾以覆盖世界全部,正是逍遥派所追寻的天人合一的那种自足,除了自足,别无他求。这种视角要求,我们对世界完全自足,但其中必然包含恶。
  
  那么如果想要排除矛盾以达到自洽,达到无罪,达到不包含恶的绝对价值,则必须牺牲完备。牺牲完备所牺牲的到底是什么?这正是对原罪的承认。那么在这种情况下,完备意味着什么?意味着必须由系统之外的某种存在来和自洽的部分共同承担起矛盾,从而共同促成完备。这种视角要求,我们可以有绝对价值,但需要世界之外的上帝来共同承担与绝对价值相对立的世间的恶。
  
  五 结束
  
  显然刘小枫是站在拯救派一方。但正如哥德尔不完备性定理所表现的性质,拯救与逍遥是同一在世的两个面相,孰优孰劣,则由人的选择而成,孰对孰错,则由人的心性而生。
  
  读罢掩卷,不免心怀感激,久久难忘……
  
引用 snapshot 9-2-2015 01:25
http://sourcedb.scr.cas.cn/zwqkk ... 091122_2673146.html
转载需注明出处

《科学文化评论》第3卷 第2期(2006):

学术沙龙



哥德尔的遗产及其百年启示



刘晓力[①]



举世同庆的爱因斯坦百年刚刚落下帷幕,2006年又迎来了哥德尔百年,4月28日是伟大的逻辑学家、数学家哥德尔(Kurt Gödel,1906—1978)诞辰100年,国际学术界纷纷举办各种活动纪念他。尽管两个“百年”含义不同,但无论是与爱因斯坦百年相比还是与国际哥德尔百年相比,国内似乎缺少了一些纪念的氛围,既无场面隆重的庆祝活动,也无大师云集的学术研讨——这不能不使中国哥德尔研究者感到有失责任的汗颜。





常设的波士顿科学哲学论坛2月27日举办了“哥德尔哲学(Gödel’s Philosophy)”专题讨论会,报告人有J.Kennedy, P. Yourgrau, M. van Atter等。3月25—26日爱丁堡大学举办题为“真与证明:哥德尔与数学基础(Truth and Proof: Kurt Gödel and the Foundations of Mathematics)”学术会议。报告人包括J. Dawson, S. Shapiro, H. Fridman, T. Franzén, H. Leitgeb, P. Raatikainen, P. Welch, R. Zach等。4月27—29日和6月30日—7月5日“欧洲可计算性2006年会”将在维也纳和英国威尔士大学举办“探索可计算界限的逻辑进路(Logical Approaches to Computational Barriers)”分会,包括六个专题的讨论:证明和计算、可计算分析、复杂性的挑战、程序设计基础、计算机和超计算机的数学模型、哥德尔世纪:他的可计算性理论遗产。出席会议的将有G. Kasparov, P. Cohn, S. Feferman, H. Friedman, G. Kreisel,R. Penrose, H. Putnam, D. Scott, H. Woodin等重量级人物。哥德尔的家乡布吕恩(Brno, CZ)将于4月22—28日举行为期一周的纪念活动。从以上学术活动的三个主题(哥德尔与数学基础、哥德尔的可计算性理论和哥德尔的哲学)大致可以反映出国际学界对哥德尔学术贡献的理解和今日对哥德尔思想的关注焦点。

100年过去了,哥德尔为人类文明究竟创造了哪些值得纪念的伟业,哥德尔为我们留下了什么值得珍视的遗产,他给我们的百年启示是什么?哥德尔的魅力是他的不完全性定理的世纪影响,是他睿智、刚毅、与世无争的面孔背后自由探索的心灵世界,还是他那不足300页公开发表的文字所昭示的一种学术独立的精神?这些都是值得今天哥德尔研究者追忆和思索的。

谈及哥德尔的贡献,曾有多种权威说法。爱因斯坦把哥德尔对数学的贡献和他本人对物理学的贡献视为同等重要。哈佛大学授予他学位时,蒯因(W van O. Quine)称他是“20世纪最有意义的数学真理的发现者”。1951年2月,哥德尔卧病在床,奥本海默(R. Oppenheimer)告诉临床医生:“你的病人是亚里士多德以来最大的逻辑学家。”在1978年3月3日的追悼会上,韦伊(A. Weil)说,“承认哥德尔是两千五百年间唯一能不带夸耀地说‘亚里士多德和我’的人,其实是不为过的”。20世纪70年代,惠勒(J. Wheeler)说道:“如果你称哥德尔为亚里士多德以来最伟大的逻辑学家,你是在贬低他”。王浩(Wang Hao)称哥德尔定理的奠基性贡献“好比弗洛依德的心理学,爱因斯坦的相对论,玻尔的互补性原理,海森堡的测不准原理,凯恩斯的经济学和DNA的双螺旋”。

就我本人看来,哥德尔的遗产应当可以分为三类。一类是他作为逻辑学家的伟大成就,一类是他作为哲人科学家的深刻思想,第三类恐怕是他特立独行超然于竞争之外的精神气质。

证明一阶谓词逻辑的完全性、一阶算术形式系统的不完全性、连续统假设与ZF集合论公理的协调性,以及他关于直觉主义逻辑和算术的研究,这几项大工作对于逻辑和数学基础的革命性变革作用已经由20世纪30年代以后的逻辑发展轨迹充分彰显,他在可计算性理论方面的成就与图灵(A. Turing)、冯·诺意曼(J.von Neumann)的贡献结合,大大超越了弗雷格(G. Frege)和莱布尼兹(G..W.von Leibniz)的设想,为我们创造了今天这个充满计算和计算机技术的新世界,谈论他工作成就和后继影响的各类通俗与不通俗的著述也已汗牛充栋。

哥德尔在数学哲学、心灵哲学乃至一般哲学中的观念作为另类遗产从60年代开始备受学界的关注,特别是在近20年发展势头强劲的认知科学领域中多为人所称道。这一方面是由于王浩(Wang Hao)介绍他哲学的一系列著作问世;一方面是人工智能领域由鲁卡斯(J Lucas)、霍夫斯塔特(D. Hufstadterd)、彭罗斯(R. Penros)、塞尔(J. Searle)等人及其反对者挑起的心灵—大脑—计算机-哥德尔的争论;同时,也由于哥德尔哲学手稿的陆续公布,哲学界重新燃起对他的柏拉图主义数学哲学、他的概念实在论、他的唯心主义和理性主义一般哲学观、以及他的哲学思想的发展与康德、莱布尼兹、胡塞尔思想的关联等问题的兴趣。只是与他数学成就的命运不尽相同的是,他的哲学获得了不同寻常的多重解释也间或遭遇一些批判。而哥德尔包含许多超越时代的,离经叛道式的哲学思想及其深刻义蕴即使经过了英美和欧陆不同学者的再阐释,对于大多数人来讲始终难以把握其全貌。在各种神秘光环的笼罩下,除了流传的哥德尔的怪异、孤傲的个性趣闻以及与爱因斯坦曾为至交等坊间说法之外,他真正内在的学术独立的精神气质对于一般学人也只是高山仰止无所追寻。
引用 snapshot 9-2-2015 01:25

哥德尔思想的博大精深所以像王浩所言“恰是远在天边的一处幽秘风景,虽令人心弛神往却难以企及”,除了他数学结果的高技术特征外,更多的原因还因为哥德尔一生发表的文字极少(不足300页),唯一一部出版物是由他的学生整理的课堂笔记。作为二十几岁就已蜚声国际学界的伟人他没有做过多少次大范围公开演讲,不曾在自己的名义下招收过任何学生,所发表的少数几篇哲学论文几乎都是他人命题作文,甚至受《在世哲学家文库》主编之约的评论卡尔纳普(R. Carnap)的一篇哲学论文竟花费了6年时间,五易其稿终未发表,原因是他的思想完全是与时代精神相背离。一个例外是他关于爱因斯坦相对论的旋转宇宙的论文倒是他自己情愿发表的,其中他推出了爱因斯坦场方程的一个新解,解释了时间旅行在逻辑上的可能性,由这一解产生的一系列更深层的问题后来竟导致了宇宙论模型中奇点的研究,哥德尔也因此受到爱因斯坦本人的赞赏,其工作的重要性还被霍金(S. Hawking)写进了他流传广远的《时间简史》。

哥德尔传播个人思想的种种独异方式确实与当下的各路“大家”“包装学术”的功夫不能同日而语。因此,可以说今天世人所见仅仅是哥德尔思想巨大冰山的一角。从1982年起由众多一流学者(G. Boolos, B. Dreben, W. Goldfarb, S. Kleene, G. Moore, R. Solovay, Jear von Heijenoort, S. Feferman, C. Parsons, J. Dawson, W. Sieg )倾注巨大精力编撰整理的《哥德尔文集》,历时20年,到2003年已经由出版五卷。作为《文集》主编的菲弗曼(S. Feferman )2005年讲述了整个编撰过程的艰辛。目前我们看到的第一、二卷是哥德尔1929—1974年间所有以英文和德文公开发表的论文,包括他几大工作的经典数学文本、1934年普林斯顿高等研究院关于数学基础的几次演讲、五篇哲学论文和上帝存在的本体论证明、一篇广义相对论的论文。第三卷是他用包括老式德文速记法等各种文字记录的大量手稿的一小部分,但内容之丰富已经涵盖逻辑学、物理学、哲学、宗教形而上学多个领域。特别是他1933年为美国数学会准备的关于数学基础现状的哲学评论、1951年谈不完全性定理哲学义蕴和心灵-大脑-计算机的Gibbs讲座稿、1958/1972年论有穷主义数论的文章、1953—1959年批判卡尔纳普的文章、1961年谈胡塞尔现象学和概念实在论的演讲稿、1970年(含有论证错误的)关于连续统假设的手稿等近些年被广泛引用。第四、五卷是编者从219个信件夹中大约3500封私人通信中选出的与哥德尔学术思想相关的50封书信,内容涉及科学、哲学、历史和宗教多方面,并配有导读和背景文字。例如,有与贝尔纳斯(P. Bernays) 1930—1975年间的通信300页,主要是逻辑和哲学方面的,涉及不完全性定理、希尔伯特规划、集合论数学、范畴论基础、根芩(G. Gentzen)与证明论、根芩最初的一致性证明、有穷主义的局限性和克莱塞尔(G. Kreisel)的相关工作、对维特根斯坦(L. Wittgenstein)《数学基础》(1958)一书的评论及其他数学哲学的内容,另外还有与卡尔纳普、丘奇(A. Church)、科恩(P. Cohen)、德雷本(B. Dreben)、格兰琼(B. D. Grandjean)、厄尔布朗(J. Herbrand)、海丁(A. Heyting), 门格尔(Karl Menger)、内格尔(E. Nagel)、波斯特(E. Post)、兰顿伯格(W. Rantenberg)、塔尔斯基(A. Tarski)、乌拉姆(S. Ulam)、冯·阿金诺尔J. van Heijenoort、冯·诺意曼(J. von Newmann)、王浩、策梅罗(E. Zermelo),…… 以及和他妈妈的通信。在第五卷的最后由道森(J. Dawson)列出了极有参考价值的详细分类的哥德尔手稿内容清单。对五卷本《文集》选用文稿的原则和编辑思想都由主编菲弗曼2005年在“The Bulleting of Symbolic Logic”杂志上作了详细说明。

作为编撰《文集》的年轻主将道森还在2005年发表在“Bulleting of Symbolic Logic”杂志上的《哥德尔学者未来的任务》一文中详细列出了哥德尔大量遗稿中有重要学术价值的、前五卷未予收录的论文手稿、演讲稿、各类笔记、通信、备忘录等内容的目录,指明了研究者未来工作的任重道远,并且殷切呼吁青年学子加盟整理和研究哥德尔遗稿的繁重工作,足见哥德尔留给世人遗产其价值的丰厚。正是这位道森,继王浩1987年出版Reflections on Kurt Gödel之后,于1997年写了一部Logical Dlemmas:The Life And Work Of Kurt Gödel,被视为关于哥德尔工作和生活的最好的一部传记。其他描写哥德尔生平的著作较早的有霍夫斯塔特(D. Hufstadter)获普利策文学大奖的通俗读物 Gödel,Escher,Bach:An Eternal Golden Braid(1979)。奥地利裔美国学者克莱塞尔的Kurt Gödel 1906—1978(1980),维也纳学派成员门格尔的 Memories of Kurt Gödel(1982),还有维也纳时哥德尔的同学陶德(Taussky—Toddd)写的 Remembrances of Kurt Gödel(1983),卡斯蒂(John L. Casti)的 Gödel:A life of Logic(2000)等。后来据说另有奥地利学者克勒(Eckehart Köhler)等人要出一本德文版的介绍哥德尔生平的著作,相信与前面提到的美国学者写的传记风格会有很大不同。事实上,对于哥德尔的评价,特别是他在逻辑学以外的工作,许多美国学者与欧洲学者有着较大的观点上的分歧。

中国哥德尔学者中最值得称道的应当是康宏逵先生的工作。他在北大协助王宪均先生出版《数理逻辑引论》时曾对哥德尔进行过研究。在其译著《可能世界的逻辑》引言中对哥德尔的不完全性定理及其内涵作了深刻而精辟的阐释。其后他全面深入哥德尔的精神世界,90年代在直接与王浩先生的密切书信往来过程中,花费五年时间完成了王浩的Reflections on Kurt Gödel大书的创造性翻译工作,为国人了解哥德尔提供了严谨可靠的参照。我的《哥德尔思想研究》是在康先生的重要影响下完成的,许多表述是直接受惠于他的,甚至有些文字完全是他的原话,虽然书中的错误与疏漏之处于他毫无关联。我持续不断的哥德尔兴趣也源自康先生的启发,只是很惭愧总有误读这位世界大家的时候不能让康先生满意。据我所知,张尚水等人多年前译过王浩的From Mathematics to Philosophy,邢滔滔等人翻译了王浩的最后一部大作A Logical Journey:From Gödel to Philosophy,但这两部译著至今都未出版。胡作玄、张尚水、邢滔滔、朱水林等也先后写过哥德尔的介绍文章。但总体来讲,中国的哥德尔研究还相当薄弱,还没有形成一定规模的学术共同体和研究氛围。

在我阅读哥德尔文献的这几年,我深深受到教益的除了他深刻的数学、逻辑、哲学思想外,还有他的精神世界带给我的思考。他一生特立独行,决不随波逐流,始终如一地将一流的人格品质、高远的科学鉴赏力、超凡的创造性和至为严谨的学风融为一体,倾其全力献身基础理论研究工作,完全采取一种“超然于竞争之上”的生活态度。在今天这个充满喧嚣和浮躁之风的世界里,在追逐各种名利和权力的世人眼里,哥德尔的所思所为也许仅仅包含一种对逝去岁月的追忆价值。然而,我相信,在纪念哥德尔100年的日子里,他那种超凡脱俗的价值观念,坚守理性的执着、不畏权威不计名利的学术独立的精神气质应当是给予身处“大科学时代”的学人最重要的百年启示。



参考文献



Donald Martin 2005. Gödel’s Conceptual Realism, The Bulletin of Symbolic Logic. 11(2): 207—224.

Gödel, K. Collected Works,Vol.I/II/III/IV/V.(S.Feferman et al.,editors), Oxford University       Press.1986/1990/1995/2003/2003.

Dawson, J. W. Jr. 1997. Logical Dilemmas, The Life And Work Of Kurt Gödel, AK Peters Wellesley,       Massachusetts.

Dawson, J. W. Jr.; Dawson, C. A. 2005. Future Tasks For Gödel Scholars. The Bulletin of Symbolic Logic.    11(2): 150—171.

刘晓力 2000.《理性的生命:哥德尔思想研究》. 长沙:湖南教育出版社.

Atten, M. van & Kennedy, J. 2003. On The Philosophical Development Of Kurt Gödel. The Bulletin of Symbolic     Logic. 9(4): 425—475.

Tieszen, R. 1998. Gödel’s Path From Incompleteness Theorems(1931) To Phenomenology(1961). The Bulletin of     Symbolic Logic. 4(2): 181—203.

Wang, H. 1996. A Logic Journey:From Gödel To Philosophy. MIT Press..

王浩著 1997.《哥德尔》康宏逵译. 上海: 上海译文出版社.

约翰·卡斯蒂、维尔纳·德波利著 2002. 《逻辑人生:哥德尔传》刘晓力、叶闯译. 上海:上海科技教育出版 社.






[①] 作者简介:刘晓力,北京师范大学哲学系教授
引用 snapshot 9-2-2015 01:38
http://www.newmind40.com/01_2/karl.htm
信仰和真理之间:哥德尔的上帝观

Karl

或许生活在我们这个时代的大多数人都愿意接受伯特兰﹒罗素的观点:信仰和真理基本上是两回事;理性的能力虽然令人尊敬却远非无所不能。然而这看似平易人心的意见却并不见容于一个独特的人:库尔特﹒哥德尔。不同于我们这个时代种种流行的标新立异,哥德尔的独特来自逆于时尚的人格、深邃精妙的思想而非前卫的形貌。作为一个普通人,“他全无合群的爱国的自大,倒是很有些个人的自大。一切问题,他只愿诉诸自己的理性,从来不肯在时代精神面前诚惶诚恐、俯首就范”[1]。作为一个数学家和哲学家,他是“二十世纪最有意义的数学真理的发现者,……,近一个多世纪以来,唯一把真正基本的科学贡献与异常深奥准确的哲学探讨相结合的人”[1]。正是被这些天赋的品性和才能所驱使,哥德尔潜心于调和信仰和理性之间的鸿沟,试图建立“其精确程度将不逊于物理学”的宗教、哲学和伦理学。

哥德尔未能在有生之年实现自己的理想。但是他获得了若干富有启发性的局部结果。这篇小文希望可以将哥德尔理性神学的一个重要结果:上帝的本体论证明(基于要证明之事物定义的证明)引介给读者。但正如人们所言,“思想是一条路”,不亲历其中的曲折与艰辛并不足以把握思想的本来面目。为了准确地认识哥德尔,读者可以进一步研读篇末列出的参考文献。

哥德尔对上帝存在性的理性思考得自其著名的第一不完全性定理(以下简称为IA,即Incompleteness of formal Arithmetic)的启发。通过对IA的的意义加以引申,哥德尔构造了上帝存在性的本体论证明。为了简明起见,这里仅讨论证明的思想脉络而回避技术性的细节。对形式化证明感兴趣的读者可参阅[1][4]。

作为一个深刻而意义非凡的数学结果,IA从根本上澄清了作为一个整体的数学不可形式化的本质,证明了可能为大多数数学家所接受的朴素信念:数学不能被还原为机械的逻辑推理和符号演算,而必然具有直觉和洞察的成分。哥德尔在IA的证明中提出了一种系统化的方法将形式系统的命题编码为素数,将推演规则和公理的实际使用编码为算术运算,进而构造了一个在形式系统内无法证明的关于素数的真命题Pk(k)。Pk(k)之所以具有这一奇特性质是由于命题和素数之间的对应关系使得关于素数的命题同时也为关于命题的命题(元命题)[2][3]。这样Pk(k)得以通过断言它自己在系统内无法证明而使得其自身为真又无法在系统内被证明。这种古老的技巧可以上溯到古希腊时代的克里特人悖论。但是哥德尔对于“可证明”这一形式概念和“真”这一直觉概念所做的区分使得Pk(k)摆脱了悖论处境而成为一个合法命题。Pk(k)类命题的存在说明形式系统的可证明性概念并不能完全把握人们关于“真”的直觉观念。值得指出的是,有研究结果表明两类形式上更自然的算术命题实际上等价于Pk(k)类命题[2][5],这暗示了不可判定命题可能是广泛存在的。

Pk(k)类命题的构造方法对于任何复杂得可以包容算术系统的形式系统都是适用的。由此一个自然的推论是任何复杂程度超过算术系统的形式系统必然或者是无限的,或者是不完全的。这里之所以存在第一个析取项是由于有技术上的对策通过不断将Pk(k)型命题扩充为系统的公理来避免不可证明之真命题的尴尬[2]。这种扩充过程不能有限地终止。因为将一个特定系统的Pk(k)型命题扩充为公理后所形成的新系统会产生新的Pk(k)型命题。最终扩充过程将导致一个有着可数无穷多公理的形式系统(近来有结果表明利用类似的过程可以得到所有“真”的数学命题,虽然这里的“真”要依据某种关于“真”的特殊定义[2])。

即使忽略上述获致完全性的方法对数学简洁之美的违背和思想上的不自然,也还存在着实际的线索支持人们将反对这种方法普遍化。此处普遍化指将所考察的系统推广到包含实际物理系统的情形。首先,无限是一个数学而非物理概念。对于持朴素的唯物主义一元论的人来说,他会倾向于相信精神只是物质结构的附属功能,任何精神现象必然对应于物质的基础,这样公理和规则与实现他们的物理实在之间的关系恰如布尔代数和计算机的逻辑电路之间的关系一样。但是迄今为止我们的知识都倾向于告诉我们宇宙是有限的:天文学家发现了限定宇宙极限的证据;物理学家估计了宇宙中质子数目的总和。由此,或者我们应该接受二元论和有神论者的世界观,承认独立精神实体的存在性和无限的精神实在;或者应该放弃关于宇宙完全性的信仰。然而宇宙作为一个整体而言,包容了我们自身的存在状态的一切侧面。一旦我们离开数学系统这个特殊的维度而置身于更贴近现实生活的伦理、道德、和情感世界,抛却完全性的概念将成为一种颇为困难的放弃。这种放弃将意味着伦理标准和道德原则不再可能是普遍和一致的(严格地说完全性和一致性是两个不同逻辑概念,但是具体到这里的引申含义,我们可以想见由不完全性所造成的理性盲区不可避免地会导致认识和实践上的矛盾、冲突,本句后半部分中出现的“对立”应做相似的理解),而必然是残缺、局部、存在着本质上的不确定性和对立的。那些以正义和公正为信仰的人们,无论是有神论者、自然神论者还是无神论者,心目中的道德圣殿将由于逻辑上的不可能而归于虚妄。哥德尔作为一个基督徒和理性神学的倡导者,清楚地意识到了其在数学领域的所获得的结果对于人们信仰的潜在意义和可能影响。他给出的关于上帝存在的本体论证明通过预先假定宇宙的完全性,论证了超越物质宇宙之外的无限精神实体的存在性。

对于彻底的怀疑主义者来说,哥德尔的证明似乎并不比历史上已有的林林总总的上帝存在性之本体论证明更有说服力。为怀疑主义者所质疑的并非是哥德尔的证明逻辑(作为自亚里士多德以来最伟大的逻辑学家[3],哥德尔的逻辑是经得住推敲的),而是他的公理:宇宙的完全性。确实,身处这样一个价值分裂、信仰失落、文明冲突的世界而又能视普遍价值和伦理法则的确实性为一种不证自明的“启示真理”殊非易事。哥德尔对宇宙完全性的信仰显然与其身所传承的日尔曼民族幸又不幸的理想主义倾向、悟的思想传统、英雄式的乐观主义以及作为一个数学家不懈地求准确和真理的专业习惯之间有着深刻的思想和心理关联。

哥德尔之上帝观并未从本质上扩展信仰的空间、也不足以改变任何一个坚定的怀疑主义者的立场。但它毕竟在一定程度上实现了信仰的融合。由于哥德尔意义非凡的洞察,不论是德国基督徒还是中国的朴素唯物主义者,只要他们都共同地相信:作为抽象的道德原则和具体的行为方式,善和公正因具有着普遍意义而值得追求;并且他们自身的观念和行为足够理性和一致的话,他们就应该在原则上接受一种超越物质宇宙之外的精神实体的存在性。信仰之始,即为上帝之门。

参考文献:

1 《哥德尔》[美]王浩著,康宏逵译,上海译文出版社,1997年4月版

2 《皇帝新脑》 [英] 罗杰﹒彭罗斯著,许明贤等译,湖南科技出版社,1995年3月版

3 “Godel's Theorems and Truth”,http//www.rae.org/godel.html

4 “Godelian Ontological Arguments” Analysis 56, 4, October 1996

5 “Randomness in Arithmetic and the Decline & Fall of Reductionism in Pure Mathematics”, EATCS Bulletin, No. 50 (June 1993), pp. 314-328

查看全部评论(7)

关闭

站长推荐上一条 /1 下一条

反省祷告|手机版|Archiver|佳美之处

GMT+8, 12-11-2018 03:51 , Processed in 0.147311 second(s), 21 queries .

Powered by Discuz! X3.2

© 2001-2013 Comsenz Inc.

返回顶部