民主的路径:哥德尔不完全性定理的视界 【佳美之處轉載注:書呆子---愛鑽牛角尖的人常常帶給人意想不到的麻煩。哥德爾是典型案例。不過本文末了幾句不值得理會。】 秘书 2013-5-8 13:02:11 作者:万绍红 ![]() 摘要:一个不弱于初等数论的形式系统如果是一致的,则是不完全的。哥德尔不完全性定理明确揭示和证明自己把握“真”的能力限度。在这一点上,达尔似乎和哥德尔心心相通,拥有哈耶克式的知识论。达尔的多元主义民主通过多元因子的协同作用,使民主的影象越来越清晰。达尔对理性抱有深深的疑虑,因而不曾也不敢建构一个完美的形式系统以建构完美民主。民主从达尔开始具有了合理性,从乌托邦的纯粹民主步向了经验的协商民主。多元主义民主的合法性在博弈协商的过程中得于展现。 关键词:哥德尔 不完全性定理 民主的路径 协商民主 一、哥德尔不完全性定理 有一个神奇的人曾在不到两年的时间内让数学界、逻辑学界有了从天堂到地狱的经历,这个人就是来自奥地利的哥德尔。作为20世纪最伟大的数学家和逻辑学家之一,在逻辑学中的地位,一般都将哥德尔与亚里士多德和莱布尼兹相比;在数学中的地位,爱因斯坦把哥德尔的贡献与他本人对物理学的贡献视为同类。1952年6月美国哈佛大学授予哥德尔荣誉理学学位时,称他为“20世纪最有意义的数学真理的发现者”。在哥德尔所发现的被称为“20世纪最有意义的数学真理”当中,最杰出,最具有代表性、最有震撼力的是哥德尔不完全性定理。 1929年,哥德尔在他的博士论文中证明了一阶逻辑的完全性,即哥德尔的逻辑完全性定理,这对于当时试图以公理化方法构建数学基础的形式主义学派是一个巨大的鼓舞。但就在紧随其后的第二年,哥德尔发表了“论数学原理及有关系统的形式不可判定命题”的论文,开启了“潘多拉的盒子”,希尔伯特的幻想破灭了。 哥德尔不完全性定理由两个不完全性定理组成。即,哥德尔第一不完全性定理:一个不弱于初等数论的形式系统如果是一致的,则是不完全的。其直观意思大致可以这样描述:一个理论,如果具备足够的表达能力和推理能力,那么,只要它不会证明自相矛盾的结论,就必然存在某种真理,它不可能证明。一个系统是否一致是指,是否不矛盾,是否能确保两个互相矛盾的命题在系统中不都可证;系统是否完全,即相关的真命题在系统中是否都可证。一致性有关一个理论能否成立,显然,一个不一致,即自相矛盾的理论,不可能是科学理论;而完全性有关一个理论证明相关真理的能力及其限度。哥德尔第二不完全性定理:一个不弱于初等数论的形式系统如果是一致的,则这种一致性在该系统内不可证明。其直观意思大致可以这样描述:一个理论,如果不自相矛盾,那么这种不自相矛盾的性质在该理论中不可证。哥德尔定理是一种特殊的数学命题,称为元数学命题。 一个形式系统的能力,包括它的形式语言的刻划能力和演绎结构的推导能力。所谓不弱于算术系统,就是指这种刻划和推导能力不弱于算术系统。形式系统具有极端的严格性。如果一个系统在自身内部证明了自己的一致性只能说明它本身是不一致的。因为一个不一致的系统可以证明任何结论,包括自己的一致性。 我们要考虑的是他仅是最有意义的数学真理的发现者吗?他的命题仅仅只在数学界和逻辑学界成立吗?是否其他类型的真理也具有“家族相似性”?他的思维模式是否可以扩展到人类其它认知领域中呢?人类的理性经验历史已经证明哥德尔所提出的命题和研究进路,对于我们人类社会的思维具有本体论的意义,将成为人类挥之不去的视界,那就是建构理性主义到演进理性主义的转向,对于这一点哈耶克从知识论的理路出发已经作出了非常杰出的阐述,成为人们的共识。达尔的多元主义民主理论就是演进理性的一颗硕果,是人类有限理性的自觉。 曾经有人问过哥德尔,是否可以将他的不完全性定理推广到数学以外,哥德尔尝试给出了一个自己认为合理的表述:一个处处按统一法则行事的社会,就其行为而言,或者是不一致的,或者是不完全的,即无力解决某些可能是极端重要的问题。当社会面临困难处境时,这两者都会危及社会的生存。 ![]() |
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